PADRÕES, CONJECTURAS E DEMONSTRAÇÕES NA MATEMÁTICA ESCOLAR

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A RPM nº 78, publicada no 2º quadrimestre de 2012, trouxe um artigo muito interessante intitulado “Sobre múltiplos ‘irados’”, cujo último parágrafo diz o seguinte:

"Dentro da atual tendência utilitarista do ensino da Matemática no Brasil, alguém poderá perguntar: “E para que servem os múltiplos ‘irados’?”. À primeira vista, parece pouco provável que os habituais clientes da Matemática – físicos, engenheiros, financistas, estatísticos, etc. – encontrem para eles alguma aplicação prática no contexto em que vivem. Mesmo assim, eles servem para algumas coisas importantes, como treinar o raciocínio lógico-dedutivo dos jovens, fazê-los sentir como acontecem as descobertas matemáticas a partir de perguntas, conjecturas e demonstrações e motivá-los ao estudo e pesquisa, através do prazer que obtêm ao realizar suas próprias inquirições e descobertas. Finalmente, eles servem para mostrar que existe muita beleza, desafio e inteligência fora do restrito território do exclusivamente contextualizável em Matemática."

A ênfase na contextualização e nas aplicações da Matemática foi, em parte, uma tentativa de tornar a matéria mais interessante para os alunos e também de facilitar a sua aprendizagem. Segundo alguns educadores, lidar com objetos e situações do mundo real teria maior significado para os alunos e seria mais fácil do que lidar com abstrações.

De qualquer forma, a fim de melhorar o desempenho de nossos estudantes em Matemática, creio que é essencial tornar a matéria mais atraente para eles. E o trecho transcrito acima aponta um caminho bem diferente do atual, mas que me parece promissor: ao invés de focar exclusivamente nas aplicações práticas da Matemática, que tal fazer com que os estudantes descubram “como acontecem as descobertas matemáticas, a partir de perguntas, conjecturas e demonstrações”? Que tal “motivá-los ao estudo e pesquisa, através do prazer que obtêm ao realizar suas próprias inquirições e descobertas”?

Pois o fato é que, após passar 12 anos tendo aulas de Matemática pelo menos 4 vezes por semana, a imensa maioria dos alunos conclui o Ensino Médio sem ter aprendido o que é a Matemática de verdade, sem saber o que um matemático faz e como faz, e muito menos o que leva este matemático a afirmar que a solução de um dado problema ou a demonstração de um dado teorema é bonita ou elegante.

As coisas certamente não precisariam ser assim. Afinal, existem inúmeros tópicos e resultados matemáticos que são, ao mesmo tempo, interessantes, instrutivos e acessíveis não só a alunos de Ensino Médio, mas também a alunos cursando o Ensino Fundamental 2 (EF2).

Aliás, se o objetivo é fazer com que os jovens passem a apreciar e, naturalmente, dominar a Matemática, então o EF2 é o ciclo escolar cujo currículo de Matemática necessita sofrer as mudanças mais drásticas, e com a maior urgência. Pois é no EF2 que os estudantes adquirem (ou não) o gosto pela Matemática. Portanto, é no EF2 que a Matemática deve conquistá-los, mostrando seu poder e sua beleza, surpreendendo-os e divertindo-os com resultados inusitados e desafiando-os a encontrar soluções engenhosas para problemas instigantes.

É possível imaginar um currículo para o EF2 no qual os tópicos são apresentados e desenvolvidos da mesma forma como ocorre o processo de descoberta em Matemática. Este, em sua essência, consiste de três estágios:
1) observação de um dado fenômeno / detecção de um padrão (*) - na prática, isso poderia ser feito por meio de um problema introdutório, que seria proposto aos alunos no início da apresentação do tópico;
2) formulação de uma conjectura que explique este padrão;
3) demonstração lógico-dedutiva da conjectura.

Pode-se até mencionar um quarto estágio:
4) generalização do resultado obtido.

A Matemática que emergiria deste currículo seria parecida com aquela contida nas coletâneas de problemas de olimpíadas, em vários artigos e problemas propostos na própria RPM e também na Eureka!, a revista da Olimpíada Brasileira de Matemática (disponível gratuitamente no site http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/), ou ainda nos livros de divulgação da Matemática, nos quais o leitor encontra inúmeros exemplos elementares de beleza matemática e também afirmações tais como "Matemática é a ciência dos padrões", "Matemática torna visível o que estava invisível", "Matemática é conjecturar e demonstrar", ou simplesmente "Matemática é uma arte". Um currículo que enfatizasse padrões, conjecturas e demonstrações permitiria que os estudantes constatassem, eles mesmos, a veracidade destas afirmações, e passassem assim a entender o que é a Matemática de fato.

É claro que isto seria uma mudança radical em relação ao currículo atual, cuja ênfase é nas aplicações da Matemática, especialmente a situações do quotidiano dos cidadãos comuns. Certamente, estas devem permanecer no novo currículo. Afinal, a Matemática é extremamente útil e todos devem aprender a aplicá-la corretamente. No entanto, é preciso reconhecer que as aplicações da Matemática ao dia-a-dia, que consistem essencialmente na resolução de problemas simples de finanças pessoais, pesos e medidas, ou interpretação de informações contidas em mapas, tabelas e gráficos, não são suficientes para preencher quatro aulas por semana durante quatro anos, que é quanto dura o EF2.

Além disso - e este é o aspecto que quero enfatizar - um currículo de Matemática baseado em padrões, conjecturas e demonstrações traria, para os alunos, benefícios muito maiores e mais duradouros. Eles exercitariam a criatividade e o raciocínio lógico-dedutivo, se acostumariam a trabalhar com abstrações e aprenderiam a organizar o pensamento com vias a resolver problemas e a apreender e compreender a realidade. Estas são habilidades que devem estar no repertório de todos os cidadãos e não apenas daqueles que trabalham em ciência, engenharia, finanças ou estatística.

(*) Infelizmente, a palavra "padrão", tradução para o português da palavra inglesa "pattern", costuma ter, na nossa língua, a conotação de "norma", ou seja, uma regra rígida que deve ser obedecida, tal como em "padrão de qualidade", "padrão de conduta" ou o notório "padrão Fifa". No entanto, "pattern" em Matemática tem mais a ver com "regularidade" ou "lei de formação", tal como por exemplo, o "padrão de um tecido" (listado, quadriculado, etc..) ou então "padrão de comportamento".
Tomemos, por exemplo, a profissão de advogado, que alguns acreditam ser a antítese da Matemática e das ciências exatas. O objetivo do advogado é defender, da melhor forma possível, os direitos e interesses de seu cliente. Para conseguir isso, ele deve ser capaz de elaborar petições que consigam atender, dentro dos limites da lei, às necessidades do cliente. A fim de convencer um juiz de que o seu cliente tem razão, o advogado deve exercitar sua criatividade e seu raciocínio lógico-dedutivo para desenvolver argumentos que sejam, ao mesmo tempo, corretos, concisos e esclarecedores.   

Ora, quando um estudante de Matemática tenta resolver um problema ou demonstrar algum teorema, ele também precisa exercitar sua criatividade e seu raciocínio lógico-dedutivo a fim de desenvolver argumentos que sejam, ao mesmo tempo, corretos, concisos e esclarecedores. Naturalmente há uma diferença, mas que não é essencial: enquanto o estudante de Matemática se baseia em axiomas,  em teoremas já demonstrados e em outros problemas parecidos cuja solução seja conhecida, o advogado se baseia nas leis, em doutrinas jurídicas e na jurisprudência: outros casos parecidos cujo desfecho seja conhecido.
Analogias semelhantes podem ser feitas com o trabalho de detetives e jornalistas investigativos, por exemplo, que devem estar atentos a pistas e padrões de comportamento muitas vezes sutis e, com base neles, reconstruir os fatos de forma lógica e coerente. Ou então com os desafios enfrentados por um empreendedor, que precisa identificar alguma necessidade do mercado, inventar um produto ou serviço que supra esta necessidade e, finalmente, elaborar um plano de negócios que seja lógico e coerente, a fim de convencer potenciais investidores a apostar na sua idéia.
Em suma, mesmo em ocupações que, à primeira vista, nada têm a ver com a Matemática, o sucesso depende crucialmente da capacidade do profissional de identificar padrões, formular conjecturas e raciocinar logicamente. E o fato é que nenhuma matéria da escola oferece mais oportunidades do que a Matemática para que os alunos desenvolvam estas habilidades. Isto é, desde que o currículo inclua tópicos adequados, que propiciem este desenvolvimento.

Ênfase na Matemática Discreta

Poucas áreas da Matemática permitem que se trabalhe tanto a progressão Padrão → Conjectura → Demonstração quanto a Matemática Discreta, que engloba, a grosso modo, a teoria dos números e a combinatória. Estes são tópicos que, de forma embrionária, já estão presentes no currículo atual do EF2. Pelo menos é o que se pode inferir a partir do exame de alguns livros didáticos para o 6º e 7º anos [1], [2], [3], [4]. Todos eles possuem um capítulo inteiro dedicado aos números naturais e às operações com estes números e outro capítulo tratando de múltiplos e divisores, incluindo tópicos como divisão euclidiana com resto, mmc e mdc, números primos e critérios de divisibilidade. Além disso, todos contém problemas envolvendo o princípio multiplicativo da combinatória. Alguns, mas não todos, contém problemas de identificação de padrões em sequências numéricas, e um deles [1] chega até a propor aos leitores a solução do problema do jovem Gauss, de calcular a soma dos números naturais de 1 até 100 (sem somá-los um por um, é claro!).
Infelizmente, após breves menções a mdc, mmc e números primos no 6º ano, nem o currículo do EF2 e nem o do Ensino Médio voltam a tratar de algum tópico de teoria dos números. Sequências numéricas e combinatória só reaparecem no 11º ano, e mesmo assim, de forma limitada: as únicas sequências tratadas são as progressões aritméticas e geométricas e a combinatória se limita a problemas simples de contagem.

Não é meu objetivo, neste artigo, descrever detalhadamente o currículo que considero ideal para o EF2. De fato, admito que ainda não tenho opinião formada a respeito dos conteúdos de geometria que deveriam ser incluídos, por exemplo. Por outro lado, não tenho dúvidas de que planilhas Excel devem ser usadas pelos alunos desde o 6º ano, tanto em atividades relacionadas ao tratamento da informação quanto para a exploração de padrões numéricos e a consequente geração de conjecturas em problemas de combinatória, de teoria dos números e até mesmo de álgebra.
Também estou convencido de que a Matemática Discreta é mais apropriada para uma introdução ao raciocínio lógico-dedutivo do que a Geometria Euclidiana Plana. Sei que aqui estou indo contra uma tradição de mais de dois mil anos no ensino da Matemática. Mas o fato é que os números naturais são pelo menos tão familiares aos alunos egressos do EF1 quanto triângulos e círculos, e são completamente descritos por meio de apenas 4 axiomas, devidos a Peano, enquanto que Euclides precisou de 23 definições, 5 postulados e 5 noções comuns para começar a fazer geometria. Ainda assim, foi necessário que Hilbert substituísse ou pelo menos suplementasse os postulados de Euclides com mais 16 axiomas, e isso só para a geometria plana. Além disso, o desenvolvimento axiomático da geometria Euclidiana contém algumas passagens delicadas, que tornam o seu ensino problemático, mesmo no Ensino Médio. Um exemplo é o teorema de Tales, fundamental para a teoria da semelhança, e cuja demonstração rigorosa envolve o equivalente geométrico da extensão dos números naturais para os números reais.
Descrevo a seguir uma pequena amostra dos tópicos de Matemática Discreta que considero apropriados para treinar alunos de EF2 na detecção de padrões e na formulação e demonstração de conjecturas.
Combinatória

Além da contagem do número de objetos em alguma coleção, a combinatória também trata de determinar se um dado objeto matemático (ou coleção de objetos) existe ou não. Um poderoso instrumento para demonstrar existência é o conhecido princípio das gavetas (ou princípio das casas de pombos) que, apesar de parecer óbvio e inócuo à primeira vista, possui inúmeras aplicações interessantes e inusitadas, várias das quais são acessíveis a alunos de EF2. Uma delas é justamente demonstrar que todo número natural possui um múltiplo “irado”, ou seja, um múltiplo cuja representação decimal pode ser escrita apenas com os algarismos 0 e 1. Há inúmeras outras. Vide, por exemplo, [5] e [6]. Com problemas deste tipo, os alunos não só exercitariam sua criatividade e seu raciocínio, mas também descobririam que, em Matemática, é possível demonstrar que um dado objeto existe sem que seja necessário exibir o tal objeto!

A combinatória não se restringe apenas à contagem e ao princípio das gavetas. Dois outros tópicos com inúmeros problemas acessíveis a alunos de EF2 são a teoria dos grafos e a análise de processos por meio de invariantes. Um exemplo bastante visual, e que envolve ambos, é o teorema segundo o qual todo grafo possui um número par de vértices de grau ímpar (ou seja, vértices aos quais se conectam um número ímpar de arcos), cuja versão “contextualizada” é: em qualquer festa, há um número par de convidados que conhecem um número ímpar de convidados. Este teorema pode ser demonstrado por meio do processo que coloca um arco de cada vez num grafo cujos vértices são dados. O padrão a ser observado é a invariância da paridade do número de vértices de grau ímpar do grafo, que inicialmente é igual a zero, já que a construção começa apenas com os vértices, sem nenhum arco.

Teoria dos Números

Poucas áreas da Matemática são tão ricas em padrões quanto a teoria dos números. O currículo atual apresenta vários exemplos, mas nenhuma demonstração. No entanto, coisas simples tais como, por exemplo, os critérios de divisibilidade por 3 e 9, não só possuem demonstrações perfeitamente compreensíveis por alunos de 6º ou 7º ano, como também ilustram o quão bem bolado é o nosso sistema de numeração decimal. A teoria dos números também fornece uma ótima motivação para a álgebra, que é usada para demonstrar a validade em geral de padrões numéricos tais como “a soma de 3 números naturais consecutivos é divisível por 3” ou “o quadrado de um número ímpar excede em 1 algum múltiplo de 8”. No entanto, hoje em dia, no EF2 e até mesmo no Ensino Médio, álgebra é sinônimo de equações e inequações.

 No início do EF2, os alunos também estudam números primos. É claro que ninguém espera que eles demonstrem a conjectura de Goldbach (todo número par maior do que 2 pode ser escrito como soma de dois números primos) ou decidam se há ou não uma infinidade de primos gêmeos (números primos que diferem por 2, tais como 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, etc.). No entanto, acredito que eles seriam perfeitamente capazes de demonstrar que todo número natural maior do que 11 pode ser escrito como a soma de dois números compostos e também de encontrar todos os “primos trigêmeos”, que são trios de números primos que diferem por 2, tais como 3, 5 e 7. Estes dois problemas sucumbem a um exame de casos particulares, o qual indicará um padrão que efetivamente resolve o problema. As soluções ficam como um exercício (fácil!) para o leitor, que assim poderá decidir por si mesmo se estes problemas são ou não apropriados para alunos de 6º ou 7º ano.

Sequências numéricas

Não tenho dúvidas de que progressões aritméticas (PAs) podem ser introduzidas já no 6º ano. Afinal, qualquer criança normal de 11 anos de idade sabe, por exemplo, contar de 4 em 4 a partir do 7:  7, 11, 15, 19, 23, 27, ... Ora, o que é isso senão uma PA? No 6º ano os alunos também estudam (de fato, revisam) a multiplicação de números naturais e as operações com frações. Assim, nada impede que eles sejam apresentados também às progressões geométricas (PGs).
Sequências numéricas, das quais as PAs e as PGs talvez sejam os exemplos mais simples, já são utilizadas hoje em dia para treinar alunos de EF2 na detecção de padrões e na formulação de conjecturas, em problemas do tipo “determine o termo seguinte”. O que falta é fazer com que estes alunos demonstrem suas conjecturas.

PAs e PGs são também os exemplos mais simples de sequências recorrentes: cada termo é obtido do termo imediatamente anterior pela adição ou pela multiplicação de um valor constante - a razão. Representam, assim, um bom ponto de partida para o importante tópico de recursão e iteração, que pode ser desenvolvido, mesmo no EF2, por meio de problemas tais como o das torres de Hanói, da separação do plano por retas ou aqueles envolvendo a sequência de Fibonacci. Aliás, aí está outra motivação para a álgebra: a determinação do n-ésimo termo da uma sequência em função de n.

Um único problema sobre sequências, se bem explorado, pode dar margem a vários desdobramentos e generalizações interessantes. Um belo exemplo é o primeiro problema proposto na 2ª fase da OBM-2014 (nível 1), cujo enunciado é: “O primeiro termo de uma sequência é 10. Cada termo seguinte é igual à metade do termo anterior, se este for par, ou 7 unidades maior do que o termo anterior, se este for ímpar. Qual o 2014º termo da sequência?”
Um ponto de partida óbvio é ir calculando os termos sucessivos a fim de detectar algum padrão: 10 → 5 → 12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 12 → 6 → 3 → 10 → 5 → ... A esta altura, espera-se que o aluno repare que o ciclo 10 → 5 → 12 → 6 → 3 → 10 se repete indefinidamente, ou seja, que a sequência é periódica com período 5. Para demonstrar isso, basta observar que a lei de formação da sequência está bem definida e é determinística. Assim, se um dado número (no caso, o 10) aparecer uma segunda vez como um termo da sequência, então todos os termos seguintes se repetirão na mesma ordem e com a mesma periodicidade. Com base nesta dedução e no algoritmo da divisão com resto (que é visto no 6º ano), o aluno encontra o valor do 2014º termo (que é igual a 6).

A generalização deste problema resultaria numa investigação bastante instrutiva, a qual poderia, por exemplo, ser dirigida por uma série de questões:
1) O que aconteceria com a sequência se, ao invés de “somar 7” no caso do termo anterior ser ímpar, a regra fosse “somar 8”?
2) Que números poderiam ser usados no lugar do 8 a fim de que a sequencia apresentasse o mesmo comportamento qualitativo?
3) Investigue o comportamento da sequência no caso geral, com o primeiro termo igual a A e somando-se B ao termo anterior, caso este seja ímpar. Trate separadamente os casos de B par e B ímpar.

Conclusão

Estou convencido de que só haverá progresso no ensino da Matemática quando os estudantes passarem a gostar de verdade da matéria. A tentativa de atraí-los por meio da contextualização e das aplicações práticas pode até ter sido feita com a melhor das intenções, mas não há evidências de que tenha tornado a Matemática mais popular nas escolas. Talvez os proponentes da contextualização não tenham entendido que quando um aluno pergunta ao professor de Matemática “Para que serve isso?” ou “Onde vou usar isso na minha vida?” este aluno está, de fato, fazendo uma pergunta retórica, que expressa apenas a sua frustração com um assunto que ele acha chato, irrelevante, ou ambos.

Crianças e adolescentes vivem num mundo dominado pelo lúdico, por esportes, festas, passeios e, cada vez mais, pela internet, onde eles encontram suas músicas, seus vídeos e seus amigos virtuais. Desta forma, o currículo do EF2 poderia enfatizar mais o lúdico e menos as aplicações ao mundo adulto. Além do mais, a Matemática contextualizada, quando reflete aplicações que realmente ocorrem no dia-a-dia, é quase sempre trivial e desinteressante. Quando não reflete, é artificial e forçada. Assim, a fim de tornar a Matemática mais atraente para os alunos, eu proponho que se reduza a ênfase na contextualização e nas aplicações práticas e que se abrace o que a matéria tem de melhor: o desafio intelectual dos problemas instigantes, a beleza das soluções engenhosas e a surpresa dos resultados inusitados e contraintuitivos.

O cérebro humano é um grande detector de padrões. E a Matemática é a melhor ferramenta que o ser humano inventou para processar e compreender estes padrões. Assim, acho fundamental elaborar um currículo de Matemática que seja capaz de ajudar nossos jovens a aperfeiçoar seus detectores por meio de um treinamento apropriado no uso desta incrível ferramenta. Acima, eu sugeri que a mudança deveria começar no EF2. Uma das razões é que, neste ciclo, a Matemática começa a ser lecionada por professores especialistas, licenciados. Mas talvez seja possível começar até antes disso, talvez no 5º ou no 4º ano. O quanto antes, melhor.

De todo jeito, a reformulação do currículo é apenas o começo. Depois serão necessários novos materiais didáticos e, principalmente, treinamento para os professores. Mas o ponto de partida é o currículo. Só me resta torcer para que, antes de reformulá-lo, os educadores matemáticos se convençam de que a Matemática é a ciência e a arte dos padrões, que ela torna visível o que estava invisível, que sua essência consiste de conjecturas e demonstrações e, sobretudo, que esta é a Matemática que deve ser ensinada aos nossos alunos.


REFERÊNCIAS

[1] IMENES, L.M.P. e LELLIS, M.C.T.  Matemática – Imenes e Lellis, 2ª ed-2012, Editora Moderna
[2] LEONARDO F. M.  Projeto Araribá – Matemática, 3ª ed-2010  Editora Moderna
[3] MARQUES, C. e SILVEIRA, E.  Matemática: Compreensão e Prática, 2ª ed-2013 Editora Moderna 
[4] CASTRUCCI, B., GIOVANNI, J.R. e GIOVANNI, JR. J. R.  A Conquista da Matemática, Nova Edição-2012  FTD Educação
[5] PITOMBEIRA J. B.  Princípio da casa dos pombos   RPM nº 8
[6] CARVALHO P. C. P.  O Princípio das Gavetas   Eureka! nº 5

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